Centro de Predicción Numérica del Tiempo y Clima
PERÚ - Ministerio del Ambiente - Instituto Geofísico del Perú - Investigación en Prevención de Desastres Naturales

¿Qué son modelos numéricos?


Un modelo científico es una representación teórica de un fenómeno natural, típicamente expresado en forma matemática, que permite una mejor comprensión y estudio de su comportamiento.

En el caso de la atmósfera y oceano, el comportamiento está regido por las ecuaciones asociadas a la dinámica de fluidos y otros procesos físicos como la interacción entre la materia y radiación, la microfísica de nubes, etc. En general, estas ecuaciones se expresan como ecuaciones diferenciales parciales, las cuales describen la evolución futura de las diferentes variables relevantes en función de los valores de las distintas variables en el presente. El modelo matemático consiste en estas ecuaciones junto con los valores de parámetros y condiciones de frontera (por ejemplo, las características topográficas de la Tierra, la cantidad de energía emitida por el Sol, etc.).

Si conociéramos el estado de la atmósfera y/o oceano en un momento dado, podríamos en principio resolver las ecuaciones de los modelo matemático para determinar los estados futuros de estos (salvo por limitaciones en predictabilidad). En la práctica, sin embargo, las ecuaciones son tan complejas que esto es imposible hacerlo en forma "analítica" (o sea, con papel y lápiz) por lo cual es necesario resolver las ecuaciones en forma aproximada usando métodos numéricos usando computadoras. Los programas computacionales que resuelven estas ecuaciones aproximadas son comúnmente conocidos como "modelos numéricos".

Modelo numérico: un ejemplo simple

Modelo matemático

Tomemos como ejemplo la ecuación de difusión de calor, propuesta por J. Fourier en 1822, la cual es un modelo matemático de cómo se propaga el calor en un medio material y se expresa mediante la siguiente ecuación diferencial parcial:

∂T/∂t = D ∂2T/∂x2

donde T es la temperatura, t el tiempo, x la distancia, D=(κc-1ρ-1), c es el calor específico del material, ρ su densidad, y κ la conductividad de calor. El problema a resolverse es completamente especificado si se incluyen condiciones iniciales y de frontera.

Método numérico

Si bien es posible encontrar soluciones analíticas a este modelo para una gran diversidad de condiciones de frontera, en general se pueden utilizar métodos numéricos. Un método bastante usado (particularlmente en modelos de la atmósfera y oceano) es el de las diferencias finitas, según el cual las derivadas se representan mediante diferencias entre valores correspondientes a puntos discretos tanto en el tiempo y el espacio. La forma óptima como se toman estas diferencias dependerá del problema específico en cuestión y de la precisión que se busca.

En el caso presente, las siguientes aproximaciones son adecuadas para las derivadas evaluadas en la posición x y el tiempo t:

∂T/∂t ≈ [T(x,t+Δt)-T(x,t)]/Δt

∂2T/∂x2 ≈ [T(x-Δx,t)-2T(x,t)+T(x+Δx,t)] /Δx2

donde Δx es la distancia entre dos puntos adyacentes en el espacio discretizado ("grilla") y Δt es el intervalo de tiempo entre un valor y el siguiente.

Usando estas aproximaciones, el modelo numérico resultante es:

T(x,t+Δt) = T(x,t) + (ΔtD/Δx2) [T(x-Δx,t)-2T(x,t)+T(x+Δx,t)]

Usando este esquema, y sujeto a:

  • Condiciones iniciales
  • Condiciones de frontera

Solución numérica de la ecuación de difusión de calor para una barra de cobre, inicialmente a 20 grados de temperatura, cuyos extremos fueron puestos en contacto con reservorios a 10 y 30 grados de temperatura.

se puede determinar la variación futura de la temperatura, como se muestra en la figura. Estos resultados se pueden interpretar como el caso de una barra de cobre de un metro de longitud, inicialmente a una temperatura de 20 grados, la cual se pone en contacto en ambos extremos con reservorios térmicos a 10 y 30 grados. El programa utilizado está disponible aquí, pero requiere Octave o Matlab para correrlo.

Resolución y estabilidad

Es importante notar que el número de cálculos será mayor mientras más pequeños sean Δx y/o Δt, debido a que habrán más puntos en la grilla espacial y más instantes en el tiempo. Comúnmente se usa el término de "resolución espacial" en referencia al valor de Δx, siendo mayor la resolución mientras menor sea el valor de Δx. Por esto, la resolución se haya sujeta a los recursos computacionales de que se disponen y por esto típicamente se usa la máxima resolución que permita obtener los resultados en un plazo aceptable.

Una consideración adicional que debe tomarse es que existe una relación entre el valor que se les asigna a Δx y Δt, la cual es dada por la condición de estabilidad. Un método que no es estable produce un resultado que progresivamente se aleja de la realidad, llevando eventualmente a la interrupción de la ejecución del programa o a valores irrealísticamente grandes. En algunos casos existen criterios para la estabilidad, pero en general un menor Δx debe estar acompañado de un menor Δt (en el caso anterior, la condición es Δt ≤ 0.5Δx2/D). Por lo tanto, el aumento en la resolución implica un aumento en el número de cálculos mayor al sugerido por el aumento en puntos de grilla.

Parametrizaciones físicas

Como vimos anteriormente, la capacidad computacional impone un límite sobre la resolución espacial que se puede emplear. Los modelos globales de la atmósfera y el oceano emplean típicamente un Δx de cientos de kilómetros. Por otro lado, existen procesos físicos que tienen escalas espaciales bastante más pequeñas que, sin embargo, tienen un efecto sobre la circulación a escala grande.

Este es el caso, por ejemplo, de la microfísica de nubes, la cual se encarga de los procesos responsables de la formacioón de las gotitas de agua y cristales de hielo en las nubes. Debido a que las nubes tienen un efecto importante sobre el clima (considere la diferencia entre un dia nublado y uno soleado), estos procesos se deben representar de alguna manera en el modelo de baja resolución. La manera como esto se hace es evidentemente de forma aproximada y los algoritmos encargados de esto se denominan "parametrizaciones".

Los esquemas de parametrización más comunes en los modelos atmosféricos son:

  • Microfísica de nubes
  • Convección húmeda profunda (o sea, tormentas intensas)
  • Capa límite planetaria (turbulencia cerca a la superficie)
  • Transferencia radiativa (la interacción entre la radiación y los gases atmosféricos y nubes)
  • Procesos de superficie (por ej. efectos de vegetación, rios, etc).

El caso de los modelos oceánicos es similar. Esquemas de parametrización comunes son:

  • Convección profunda
  • Mezcla turbulenta vertical
  • Mezcla debido a remolinos de mesoescala
  • Transferencia radiativa

Debido a que las parametrizaciones son aproximaciones, son un punto débil de los modelos. Por ejemplo, una de las principales fuentes de incertidumbre en las proyecciones de cambio climático futuro global es el comportamiento de las nubes. La incertidumbre puede hallarse tanto en los valores de parámetros usados en estos esquemas, como en qué tan buen modelo de la realidad es el esquema mismo.

Modelos regionales

Una forma de aumentar la resolución de un modelo sin que las exigencias computaciones aumenten significativamente es limitar la solución a una región restringida (conocida como "dominio"), por ejemplo sólo para el Perú. Al ser una región reducida, el número de cálculos se puede mantener reducido también.

Como en el ejemplo de la conducción de calor en una barra de metal, el modelo regional requiere especificar las condiciones en las fronteras del dominio (en el ejemplo, alrededor del Perú). Lo más común es especificar en las fronteras los valores de las diferentes variables del modelo usando resultados de un modelo global (o alguna otra fuente). Por esto, el modelo regional se puede considerar como una herramienta que permite obtener resultados más detallados sobre la base de información de baja resolución del modelo global (como una especie de "lente de aumento"). Por lo mismo, el modelo regional puede heredar deficiencias del modelo global que proporciona las condiciones de frontera.

Hoy en día, la tecnología de la computación se ha desarrollado tanto que es posible correr estos modelos incluso en computadoras personales y además es relativamente fácil conseguir los programas y datos necesarios de los modelos atmosféricos. Por ejemplo, algunos modelos atmosféricos regionales populares son:

y algunos modelos oceánicos son:
Temperatura de la superficie para la zona sur del Perú de una simulación de dos dias con el modelo regional PSU/NCAR MM5 con Δx=15 km, donde se ve claramente la variación diurna.

Errores y validación de los modelos

Los modelos numéricos, por necesidad, emplean una variedad de aproximaciones que pueden no ser apropiadas para algún fenómeno de interés y son, por lo tanto, fuentes de error. Las principales fuentes de error son:

El desarrollo de modelos numéricos es una actividad de investigación intensiva que involucra a especialistas en diferentes aspectos del sistema climático. Una componente crucial en el desarrollo es el de la validación, que consiste en comparar críticamente los resultados de los modelos con la información observacional disponible. Esto permite identificar deficiencias en los modelos, lo cual orienta el esfuerzo de los investigadores.

Debido a la complejidad del sistema climático, el solucionar una deficiencia identificada no es una tarea inmediata y constituye un trabajo de investigación que no tiene el éxito garantizado. Un ejemplo particularmente relevante a nosotros es la dificultad que tienen practicamente todos los modelos climáticos (oceano y atmósfera acoplados) en representar correctamente la frialdad del mar peruano, lo cual fue identificado hace más de una década y, sin embargo, aún no tiene solución (ver figura abajo).


Promedio de los errores en temperatura superficial del mar de los modelos climáticos considerados en el Cuarto Reporte del IPCC (2007). El error frente a Perú es de 3°C.

En resumen, no se puede asumir que un modelo será adecuado para una aplicación dada (por ej. para simular el clima en el Perú) sin haber hecho la validación correspondiente e investigado las posibles fuentes de error en el modelo y las formas de corregirlos.

Contacto: Ken Takahashi